Question

18．橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的右焦點(diǎn)為F，直線(xiàn)x=t與橢圓相交于點(diǎn)A，B，若△FAB的周長(zhǎng)等于8則△FAB的面積為（　�。�

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 F$（\sqrt{3}，0）$．設(shè)直線(xiàn)x=t與x軸相交于點(diǎn)D（t，0），由于△FAB的周長(zhǎng)等于8，可得|AB|+|AF|+|BF|=8=4×a，因此直線(xiàn)x=t經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，0）．解出即可得出．

解答 解：F$（\sqrt{3}，0）$．
設(shè)直線(xiàn)x=t與x軸相交于點(diǎn)D（t，0），
∵△FAB的周長(zhǎng)等于8，∴|AB|+|AF|+|BF|=8=4×2，
因此直線(xiàn)x=t經(jīng)過(guò)左焦點(diǎn)（-$\sqrt{3}$，0）．
把x=-$\sqrt{3}$代入橢圓方程可得：y²=1-$\frac{3}{4}$=$\frac{1}{4}$，解得y=$±\frac{1}{2}$．
∴|AB|=1．
∴△FAB的面積=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×1$=$\sqrt{3}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、三角形周長(zhǎng)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．