Question

3．在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊．若b=2acosC，則△ABC的形狀一定是（　　）

• A． 等腰直角三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰或直角三角形

Answer 1

分析 （法一）根據(jù)正弦定理、內(nèi)角和定理、誘導(dǎo)公式、兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)已知的式子，由內(nèi)角的范圍即可判斷出△ABC的形狀；
（法二）根據(jù)余弦定理化簡(jiǎn)已知的式子，即可判斷出△ABC的形狀．

解答 解：（法一）∵b=2acosC，∴由正弦定理得sinB=2sinAcosC，
∵B=π-（A+C），∴sin（A+C）=2sinAcosC，
則sinAcosC+cosAsinC=2sinAcosC，
sinAcosC-cosAsinC=0，即sin（A-C）=0，
∵A、C∈（0，π），∴A-C∈（-π，π），則A-C=0，
∴A=C，∴△ABC是等腰三角形；
（法二）∵b=2acosC，∴由余弦定理得b=2a•$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，
化簡(jiǎn)得a²-c²=0，即a=c，
∴△ABC是等腰三角形，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理和余弦定理的應(yīng)用：邊角互化，考查化簡(jiǎn)、變形能力，屬于中檔題．