Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，直線與相交于不同的兩點(diǎn)．

（1）求的方程；

（2）若直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的面積的最小值(為坐標(biāo)原點(diǎn))；

（3）已知點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求證：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析

【解析】

（1）由題意方程求出右焦點(diǎn)坐標(biāo)，即拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)一步可得拋物線方程；

（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得|y1﹣y2|，代入三角形面積公式，利用二次函數(shù)求最值；

（3）分直線AB的斜率存在與不存在，證明有，可得CA⊥CB，又D為線段AB的中點(diǎn)，則|AB|＝2|CD|．

（1）∵橢圓的右焦點(diǎn)為，∴， ∴的方程為．

（2）（解法1）顯然直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，

由，得，則，

∴當(dāng)，即直線垂直軸時(shí)，的面積取到最小值，最小值為．

（解法2）若直線的斜率不存在，由，得，

的面積，

若直線的斜率存在，不妨設(shè)直線的方程為，

由，得，，且，

，

即的面積的最小值為．

（3）（解法1）∵直線的斜率不可能為零，設(shè)直線方程為，

由得，∴，

，

∴

，即，

在中，為斜邊的中點(diǎn)，所以．

（解法2）（前同解法1）

線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

所以．