【題目】已知圓，橢圓（）的短軸長等于圓半徑的倍，的離心率為．

（1）求的方程；

（2）若直線與交于兩點，且與圓相切，證明：．

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

(1)由題分別計算橢圓的基本量即可.

(2)分直線斜率不存在與存在兩種情況討論,當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為利用直線與圓相切求得,再聯(lián)立橢圓方程設(shè)交點再得出韋達(dá)定理證明0即可.

解法一：（1）依題意,圓半徑等于,

因為橢圓的短軸長等于圓半徑的倍,

所以,解得

因為的離心率為,所以, ①

又因為,所以, ②

聯(lián)立①② ,解得,

所以的方程為.

（2）證明：①當(dāng)直線斜率不存在時, 直線的方程為,或．

當(dāng)時,,則,故．

同理可證,當(dāng)時,．

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)其方程為

因為直線與圓相切,所以,即,

由得,,

所以,且

所以

,

所以

綜上,

解法二：（1）同解法一

（2）①當(dāng)直線方程為時, ,則

,故

同理可證,當(dāng)直線方程為時,

②當(dāng)直線不與軸平行時,設(shè)其方程為

因為直線與圓相切,所以,即

由得,

所以,且

,

所以,．

綜上,

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義符號函數(shù)，已知函數(shù).

（1）已知，求實數(shù)的取值集合；

（2）當(dāng)時，在區(qū)間上有唯一零點，求的取值集合；

（3）已知在上的最小值為，求正實數(shù)的取值集合；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點，現(xiàn)將與折起，使得平面及平面都與平面垂直．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，若存在實數(shù)，使得為上的奇函數(shù)，則稱是位差值為的“位差奇函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)和是否為位差奇函數(shù)？說明理由；

（2）若是位差值為的位差奇函數(shù)，求的值；

（3）若對任意屬于區(qū)間中的都不是位差奇函數(shù)，求實數(shù)、滿足的條件.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，矩形垂直于正方形垂直于平面．且．

（1）求三棱錐的體積；

（2）求證：面面．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的右焦點是拋物線的焦點，直線與相交于不同的兩點．

（1）求的方程；

（2）若直線經(jīng)過點，求的面積的最小值(為坐標(biāo)原點)；

（3）已知點，直線經(jīng)過點，為線段的中點，求證：．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于函數(shù)，如果存在實數(shù)（，且不同時成立），使得對恒成立，則稱函數(shù)為“映像函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否是“映像函數(shù)”，如果是，請求出相應(yīng)的的值，若不是，請說明理由；

（2）已知函數(shù)是定義在上的“映像函數(shù)”，且當(dāng)時，.求函數(shù)（）的反函數(shù)；

（3）在（2）的條件下，試構(gòu)造一個數(shù)列，使得當(dāng)時，，并求時，函數(shù)的解析式，及的值域．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】半圓的直徑的兩端點為,點在半圓及直徑上運動,若將點的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變)得到點,記點的軌跡為曲線.

(1)求曲線的方程;

(2)若稱封閉曲線上任意兩點距離的最大值為該曲線的“直徑”,求曲線的“直徑”.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示，沿河有A、B兩城鎮(zhèn)，它們相距千米．以前，兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里，現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境，污水需經(jīng)處理才能排放．兩城鎮(zhèn)可以單獨建污水處理廠，或者聯(lián)合建污水處理廠（在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠，用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送）．依據(jù)經(jīng)驗公式，建廠的費用為（萬元），表示污水流量；鋪設(shè)管道的費用（包括管道費）（萬元），表示輸送污水管道的長度（千米）．已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為、，、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為千米．假定：經(jīng)管道輸送的污水流量不發(fā)生改變，污水經(jīng)處理后直接排入河中．請解答下列問題（結(jié)果精確到）：

（1）若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨建廠，共需多少總費用？

（2）考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資，設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為千米，求聯(lián)合建廠的總費用與的函數(shù)關(guān)系式，并求的取值范圍．

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