Question

已知函數(shù)

（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）若在上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）0

【解析】

試題分析：（I）……2分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210112062509377/SYS201303221012108906822645_DA.files/image004.png">為的極值點(diǎn)，所以，即，

解得。經(jīng)檢驗(yàn)，合題意……4分（沒(méi)有寫(xiě)經(jīng)檢驗(yàn)的減1分）

（II）因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以

在上恒成立。

?當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故 符合題意。 ……………………6分                                   

?當(dāng)時(shí)，由函數(shù)的定義域可知，必須有對(duì)恒成立，

故只能，所以在上恒成立。  

令函數(shù)，其對(duì)稱軸為，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210112062509377/SYS201303221012108906822645_DA.files/image014.png">，所以，

要使在上恒成立，

只要即可，即，

所以。

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013032210112062509377/SYS201303221012108906822645_DA.files/image014.png">，所以。

綜上所述，a的取值范圍為。………8分

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，方程可化為。

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解，即求函數(shù)的值域。

因?yàn)楹瘮?shù)，令函數(shù)，………10分

則，

所以當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，

因此。

而，所以，因此當(dāng)時(shí)，b取得最大值0.  ………12分  

考點(diǎn)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義及利用導(dǎo)數(shù)求極值最值

點(diǎn)評(píng)：本題中的不等式恒成立或方程有實(shí)根轉(zhuǎn)化為求構(gòu)造的新函數(shù)的最值問(wèn)題，這是函數(shù)題中最常用的轉(zhuǎn)化方法