Question

已知函數(shù)

（1）若為的極值點，求實數(shù)的值；

（2）若在上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時，方程有實根，求實數(shù)的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）0.

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，因為為的極值點，所以，所以得出；（2）因為在區(qū)間 上為增函數(shù)，所以恒成立，通過對和進(jìn)行討論；（3）將代入方程，得到，所以本題轉(zhuǎn)化成與的交點問題，所以通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，畫出函數(shù)的圖像，得到的取值范圍.

試題解析：(1)解：          1分

因為為的極值點，所以         2分

即，解得：           3分

又當(dāng)時，，從而為的極值點成立．          4分

(2)解：∵在區(qū)間 上為增函數(shù)，

∴在區(qū)間 上恒成立．         5分

①當(dāng)時，在 上恒成立，所以在 上為增函數(shù)，

故符合題意．          6分

②當(dāng)時，由函數(shù)的定義域可知，必須有對恒成立，故只能，

所以在區(qū)間 上恒成立．       7分

令，其對稱軸為           8分

∵，∴，從而在 上恒成立，只要即可，

由，解得：     9分

∵，∴．綜上所述，的取值范圍為        10分

(3)解：時，方程可化為，．

問題轉(zhuǎn)化為在 上有解                                11分

令，則                    12分

當(dāng)時，，∴在上為增函數(shù)

當(dāng)時，，∴在上為減函數(shù)

故，而，故，即實數(shù)的最大值是0．      14分

考點：1.用導(dǎo)數(shù)求極值；2.用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性.