Question

13．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AB=2AD，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，沿EF將四邊形AEFD折起到新位置變?yōu)樗倪呅蜛′EFD′，使A′B=A′F（如圖2所示）．
（1）證明：A′E⊥BF；
（2）若∠BAD=60°，A′E=$\sqrt{2}$A'B=2，求二面角A′-EF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明 BF⊥平面A'EO即可證明：A′E⊥BF；
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角A′-EF-C的余弦值．

解答 解：（1）證明：在圖2中取BF的中點(diǎn)O，
連接A'O，EO，
因?yàn)锳'B=A'F，所以BF⊥A'O，…（2分）
又因?yàn)锽E=EF，
所以BF⊥EO，…（3分）
因?yàn)锳'O∩EO=O，所以 BF⊥平面A'EO，…（4分）
而A'E?平面A'EO，所以A'E⊥BF．   …（5分）

（2）由（1）知BF⊥A'O，BF⊥EO，
因?yàn)锽E=EF=2，∠BEF=60°，
所以BF=2，
因?yàn)?A'E=\sqrt{2}A'B=2$，所以$A'B=A'F=\sqrt{2}$，
所以△A'BF為等腰直角三角形，且A'O=1，$EO=\sqrt{3}$，
所以A'O⊥EO，…（7分）
以O(shè)為原點(diǎn)，直線OE，OF，OA'分別為x，y，z軸
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則O（0，0，0），$E（\sqrt{3}，0，0）$，F(xiàn)（0，1，0），A'（0，0，1），
所以$\overrightarrow{EA'}=（-\sqrt{3}，0，1）$，$\overrightarrow{EF}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
可求得平面A'EF的一個(gè)法向量為$\overrightarrow n=（1，\sqrt{3}，\sqrt{3}）$，
易知$\overrightarrow m=（0，0，1）$是平面BEF的一個(gè)法向量，…（10分）
所以$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{\overrightarrow m•\overrightarrow n}{{|{\overrightarrow m}|×|{\overrightarrow n}|}}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{\sqrt{21}}}{7}$，…（11分）
因?yàn)槎�面角A'-EF-C為銳角，故二面角A'-EF-C的余弦值為$\frac{{\sqrt{21}}}{7}$．   …（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間中的線面垂直的性質(zhì)定理以及二面角的求解，建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．