分析 將x2+ax+b=0變形為xa+12•2b+x2=0,即點(diǎn)(a,2b)在直線xa+12•2b+x2=0上,則a2+4b2的表示點(diǎn)(a,2b)與(0,0)的距離的平方;(0,0)到直線xa+12•2b+x2=0距離的平方為4x41+4x2,通過換元,利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性,求出最小值.
解答 解:由于x2+ax+b=0,
則xa+b+x2=0,
∴點(diǎn)(a,2b)在直線xa+12•2b+x2=0上,
則a2+4b2的表示點(diǎn)(a,2b)與(0,0)的距離的平方.
∴(0,0)到直線xa+12•2b+x2=0距離的平方為(x2)2x2+14,
∴a2+4b2≥4x41+4x2,
令t=1+4x2≥1+4×9=37,
∴a2+4b2≥4(t−14)2t=14(t+1t-2),
由y=t+1t-2(t≥37)為增函數(shù),
∴當(dāng)t=37時(shí)有最小值35+137;
當(dāng)且僅當(dāng)x=±3取等號(hào).
故a2+4b2的最小值為35137.
故答案為:35137.
點(diǎn)評(píng) 本題考查利用幾何解決代數(shù)中最值問題;考查換元的數(shù)學(xué)方法及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值,是一道難題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:選擇題
A. | k越大,“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 | |
B. | k越小,“X與Y有關(guān)系”的可信程度越小 | |
C. | k越接近于0,“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越小 | |
D. | k越大,“X與Y沒有關(guān)系”的可信程度越大 |
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A. | (2,\frac{5π}{6}) | B. | (2,\frac{7π}{6}) | C. | (2,\frac{11π}{6}) | D. | (2,\frac{π}{6}) |
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A. | (-∞,\frac{1}{2})∪(1,2) | B. | (1,2)∪(3,+∞) | C. | (-∞,\frac{1}{2})∪(1,+∞) | D. | (2,3) |
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