Question

8．已知函數(shù)f（x）=x²+ax+b存在實(shí)數(shù)x₀，且有|x₀|≥3，使得f（x₀）=0，則a²+4b²的最小值35$\frac{1}{37}$．

Answer 1

分析 將x²+ax+b=0變形為xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0，即點(diǎn)（a，2b）在直線xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0上，則a²+4b²的表示點(diǎn)（a，2b）與（0，0）的距離的平方；（0，0）到直線xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0距離的平方為$\frac{4{x}^{4}}{1+4{x}^{2}}$，通過換元，利用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值．

解答 解：由于x²+ax+b=0，
則xa+b+x²=0，
∴點(diǎn)（a，2b）在直線xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0上，
則a²+4b²的表示點(diǎn)（a，2b）與（0，0）的距離的平方．
∴（0，0）到直線xa+$\frac{1}{2}$•2b+x²=0距離的平方為$\frac{{（x}^{2}）^{2}}{{x}^{2}+\frac{1}{4}}$，
∴a²+4b²≥$\frac{4{x}^{4}}{1+4{x}^{2}}$，
令t=1+4x²≥1+4×9=37，
∴a²+4b²≥$\frac{4（\frac{t-1}{4}）^{2}}{t}$=$\frac{1}{4}$（t+$\frac{1}{t}$-2），
由y=t+$\frac{1}{t}$-2（t≥37）為增函數(shù)，
∴當(dāng)t=37時(shí)有最小值35+$\frac{1}{37}$；
當(dāng)且僅當(dāng)x=±3取等號(hào)．
故a²+4b²的最小值為35$\frac{1}{37}$．
故答案為：35$\frac{1}{37}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用幾何解決代數(shù)中最值問題；考查換元的數(shù)學(xué)方法及對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求最值，是一道難題．