Question

已知函數(shù)f（x）=a?2^x+b|2^x-2|（x∈R）．若a，b∈（-2，2），且函數(shù)f（x）存在最大值，則在平面直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)（a，b）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積是

4

．

Answer 1

分析：利用x的范圍去掉絕對(duì)值符號(hào)，根據(jù)函數(shù)f（x）存在最大值，得到a，b的關(guān)系，然后利用線(xiàn)性規(guī)劃求出動(dòng)點(diǎn)（a，b）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積．

解答：解：函數(shù)f（x）=a?2^x+b|2^x-2|（x∈R）．若a，b∈（-2，2），且函數(shù)f（x）存在最大值，
所以f（x）=

(a+b)•2x-2     x≥1 (a-b)•2x+2     x＜1

，所以x≥1函數(shù)是減函數(shù)或常函數(shù)，x＜1時(shí)函數(shù)是增函數(shù)或常函數(shù)，即

a+b≤0 a-b≥0

，
所以

a+b≤0 a-b≥0 -2＜a＜2 -2＜b＜2

，
在平面直角坐標(biāo)系aOb內(nèi)，作出可行域，
動(dòng)點(diǎn)（a，b）運(yùn)動(dòng)區(qū)域的面積為：4．
故答案為：4．

點(diǎn)評(píng)：本題是難度較大題目，考查函數(shù)的單調(diào)性，線(xiàn)性規(guī)劃的應(yīng)用，能夠由題意推出a，b滿(mǎn)足的條件是解題的關(guān)鍵點(diǎn)和難點(diǎn)．