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5.已知|x|≤\frac{π}{4},求函數(shù)y=2-4cosx-3sin2x的值域.

分析 運用同角的平方關系,并配方得y=3cos2x-4cosx-1=3(cosx-\frac{2}{3}2-\frac{7}{3},由于|x|≤\frac{π}{4},可得cosx的范圍,利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值,進而得到值域.

解答 解:y=2-4cosx-3sin2x
=2-4cosx-3(1-cos2x)
=3cos2x-4cosx-1
=3(cosx-\frac{2}{3}2-\frac{7}{3}
∵|x|≤\frac{π}{4}
∴cosx∈[\frac{\sqrt{2}}{2},1],
∴當cosx=1時,y取得最大值-2,
當cosx=\frac{\sqrt{2}}{2}時,y取得最小值\frac{3-4\sqrt{2}}{6},
即函數(shù)y=2-4cosx-3sin2x的值域為[\frac{3-4\sqrt{2}}{6},-2].

點評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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