Question

5．已知|x|≤$\frac{π}{4}$，求函數(shù)y=2-4cosx-3sin²x的值域．

Answer 1

分析 運用同角的平方關系，并配方得y=3cos²x-4cosx-1=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{7}{3}$，由于|x|≤$\frac{π}{4}$，可得cosx的范圍，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出最值，進而得到值域．

解答 解：y=2-4cosx-3sin²x
=2-4cosx-3（1-cos²x）
=3cos²x-4cosx-1
=3（cosx-$\frac{2}{3}$）²-$\frac{7}{3}$．
∵|x|≤$\frac{π}{4}$，
∴cosx∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴當cosx=1時，y取得最大值-2，
當cosx=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，y取得最小值$\frac{3-4\sqrt{2}}{6}$，
即函數(shù)y=2-4cosx-3sin²x的值域為[$\frac{3-4\sqrt{2}}{6}$，-2]．

點評 本題考查了同角三角函數(shù)基本關系式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．