Question

已知數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為S_n，a₃=6，S₃=12．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求前n項(xiàng)和S_n；
（3）求證：

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）由已知列式求出數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)和公差，代入通項(xiàng)公式得答案；
（2）直接由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和得答案；
（3）由裂項(xiàng)相消法求出

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

，然后放縮得到要證明的數(shù)列不等式．

解答： （1）解：設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差是d，
依題意得

a1+2d=6 3a1+ 3×2 2 d=12.

解得

a1=2 d=2.

∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=a₁+（n-1）d=2n；
（2）解：∵a_n=2n，
∴S_n=

n(a1+an)

2

=

n(2+2n)

2

=n（n+1）；
（3）證明：∵

1

Sn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

．
∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

＜1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和，考查了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．