Question

5．?dāng)?shù)列{a_n}滿足${a_{n+1}}=-\frac{1}{{1+{a_n}}}$，a₁=1，記數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n，則S₂₀₁₇=-1007．

Answer 1

分析 依題a₁=1，a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1…則{a_n}是周期為3變化的數(shù)列，求得S₂₀₁₆，a₂₀₁₇=1，S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=-1007．

解答 解：依題a₁=1，a₂=-$\frac{1}{2}$，a₃=-2，a₄=1…
∴{a_n}是周期為3變化的數(shù)列，且每個(gè)周期內(nèi)的和為1+（-$\frac{1}{2}$）+（-2）=-$\frac{3}{2}$，
又其前2016項(xiàng)包含了672個(gè)周期，
則S₂₀₁₆=672×（-$\frac{3}{2}$）=-1008，又a₂₀₁₇=1，
∴S₂₀₁₇=S₂₀₁₆+a₂₀₁₇=-1008+1=-1007，
故答案為：-1007．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的周期性，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．