Question

設函數(shù)f（x）在區(qū)間D上有定義，若對其中任意x₁，x₂（x₁≠x₂）恒有都有f（

x1+x2

2

）＜

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]，則稱f（x）是D上的“凹函數(shù)”，若f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上為“凹函數(shù)”，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)的值

專題：計算題,導數(shù)的綜合應用

分析：由f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上為“凹函數(shù)”可知f′（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，從而求解．

解答： 解：∵f（x）=x|ax-4|（a≠0）在[2，3]上為“凹函數(shù)”，
∴f′（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，
∴①若a≤

4

3

，
則f（x）=x（4-ax），
f′（x）=-2ax+4；
則-2a＞0，
故a＜0；
②若

4

3

＜a＜2，
則f（x）=x|ax-4|=

x(4-ax)，2≤x≤ 4 a x(ax-4)， 4 a ≤x≤3

；
f′（x）=-2ax+4已經(jīng)不能單調(diào)遞增，故不成立；
③當a≥2時，
f（x）=x（ax-4），f′（x）=2ax-4；
故2a＞0，
解得a≥2；
故a≥2或a＜0．
故答案為：a≥2或a＜0．

點評：本題考查了導數(shù)的綜合應用，同時考查了學生對新定義的接受能力，屬于難題．