Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=（mx+n）lnx．若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（e，f（e））處的切線方程為y=2x-e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若a，b∈R⁺，試比較$\frac{f（a）+f（b）}{2}$與$f（\frac{a+b}{2}）$的大小，并予以證明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（Ⅱ）求出f′（x），令F（x）=f（a）+f（x）-2f（$\frac{a+x}{2}$），求出F′（x），利用函數(shù)的單調(diào)性求出當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）的最小值0，再根據(jù)b＞a，即可確定F（b）＞F（a），從而證得f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＞0，得到$\frac{f（a）+f（b）}{2}$與$f（\frac{a+b}{2}）$的大小即可．

解答 解：f′（x）=mlnx+m+$\frac{n}{x}$，（x＞0），
故f（e）=me+n，f′（e）=2m+$\frac{n}{e}$，
故切線方程是：y=（2m+$\frac{n}{e}$）x-me=2x-e，
故m=1，n=0，
故f（x）=xlnx；
（Ⅰ）∵f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
故f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）遞減，在（$\frac{1}{e}$，+∞）；
（Ⅱ）不妨設(shè)0＜a≤b，∵f（x）=xlnx，
∴f'（x）=lnx+1，
令F（x）=f（a）+f（x）-2f（$\frac{a+x}{2}$），
∴F′（x）=f′（x）-f′（$\frac{a+x}{2}$）=lnx-ln$\frac{a+x}{2}$，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，F(xiàn)'（x）＜0，當(dāng)a＜x時(shí)，F(xiàn)'（x）＞0，
∴F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，F(xiàn)（x）在（a，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x=a時(shí)，F(xiàn)（x）_min=F（a）=0，
∵b≥a，
∴F（b）＞F（a），
∴f（a）+f（b）-2f（$\frac{a+b}{2}$）＞0，
∴$\frac{f（a）+f（b）}{2}$＞$f（\frac{a+b}{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，注意導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的單調(diào)性．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常會(huì)運(yùn)用分類討論的數(shù)學(xué)思想方法．