Question

20．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（1-x）+1，-1≤x＜k}\\{{x}^{3}-3x+2，k≤x≤a}\end{array}\right.$，若存在k使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． [$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$]
• B． [1，$\sqrt{3}$]
• C． （-1，$\sqrt{3}$]
• D． （-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]

Answer 1

分析 分段考查值域，當(dāng)-1≤x＜k時(shí)，f（x）=log₂（1-x）+1，由定義域可知，k≤1，其值域f（x）∈[1，log₂（1-k）+1]，討論其值域[0，2]，k的值，可得答案

解答 解：當(dāng)-1≤x＜k時(shí)，f（x）=log₂（1-x）+1，由定義域可知，k≤1，其值域f（x）∈[1，log₂（1-k）+1]，
當(dāng)k≤x≤a時(shí)，f（x）=x³-3x+2，
f′（x）=3x²-3，
當(dāng)x＜-1或x＞1時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）單調(diào)遞增，在（-1，1）單調(diào)遞減．
當(dāng)x=1時(shí)，取得極小值為0，當(dāng)x=-1時(shí)，取得極大值為4．
當(dāng)x=0時(shí)，可得f（x）=2．
∴k≥0，
可得：1≥k≥0．
∴a≥1；
當(dāng)x³-3x+2=2時(shí)，可得x=1或x=$\sqrt{3}$，
f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞增
則x$≤\sqrt{3}$．
∴1$≤a≤\sqrt{3}$．
可使得函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，2]，
故選B．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)的定義域和值域問題，需要對單調(diào)性進(jìn)行判斷，屬于中檔題．