Question

5．如圖，E是邊長為2的正方形ABCD的AB邊的中點，將△AED與△BEC分別沿ED、EC折起，使得點A與點B重合，記為點P，得到三棱錐P-CDE．
（Ⅰ）求證：平面PED⊥平面PCD；
（Ⅱ）求點P到平面CDE的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過證明PE⊥PD，PE⊥PC證明PE⊥平面PCD，然后推出平面PED⊥平面PCD．
（Ⅱ）設點P到平面CDE的距離為h，通過V_E-PCD=V_P-ECD，求解即可．

解答 （Ⅰ）證明：∵∠A=∠B=90°，∴PE⊥PD，PE⊥PC．
∵PD交PC于點P，PC，PD在平面PCD內(nèi)，∴PE⊥平面PCD，
∵PE在平面PED內(nèi)，∴平面PED⊥平面PCD．
（Ⅱ）解：設點P到平面CDE的距離為h，
依題意可知，三角形CDE是底邊長為2，高為2的三角形，
所以其面積為$\frac{1}{2}×2×2=2$．
由（Ⅰ）知PE⊥平面PCD，易知△PCD是邊長為2的等邊三角形，其面積為$\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，PE=1，
所以${V_{E-PCD}}=\frac{1}{3}×\sqrt{3}×1=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵V_E-PCD=V_P-ECD，∴$\frac{1}{3}×2×h=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，∴$h=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查直線與平面垂直，平面與平面垂直的判定定理的應用，幾何體的體積的求法，考查計算能力．