Question

10．若數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$，則a₁a₂…a_n的最小值為2^-69．

Answer 1

分析 數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$＞0，可得log₂a_n+1=2log₂a_n+20．令log₂a_n=b_n，b₁=-19．可得：b_n+1+20=2（b_n+20），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n=2^n-1-20，log₂a_n=2^n-1-20，令a₁a₂…a_n=t_n．通過去對數(shù)運(yùn)算，利用函指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足${a_1}=\frac{1}{{{2^{19}}}}$，${a_{n+1}}={2^{20}}a_n^2$＞0，
∴l(xiāng)og₂a_n+1=2log₂a_n+20．
令log₂a_n=b_n，b₁=-19．
∴b_n+1=2b_n+20，變形為：b_n+1+20=2（b_n+20），
∴數(shù)列{b_n+20}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
∴b_n+20=2^n-1，即b_n=2^n-1-20，
∴l(xiāng)og₂a_n=2^n-1-20，
令a₁a₂…a_n=t_n．
∴l(xiāng)og₂t_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n=（1+2+2²+…+2^n-1）-20n
=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$-20n=2ⁿ-1-20n．
∴a₁a₂…a_n=t_n=${2}^{{2}^{n}-1-20n}$．
n=1時(shí)，指數(shù)=-19；n=2時(shí)，指數(shù)=-37；n=3時(shí)，指數(shù)=-53；n=4時(shí)，指數(shù)=-65．n=5時(shí)，指數(shù)=-69；n=6時(shí)，指數(shù)=-57，n≥5時(shí)，指數(shù)單調(diào)遞增．
則a₁a₂…a_n的最小值為 2^-69．
故答案為：2^-69．

點(diǎn)評 本題考査了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、“錯(cuò)位相減法”、對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．