Question

20．已知函數(shù)f（x）=3x-x³，x∈R．
（1）求f'（x）在[-2，3]上的最大值和最小值；
（2）設曲線y=f（x）與x軸正半軸的交點為P處的切線方程為y=g（x），求證：對于任意的正實數(shù)x，都有f（x）≤g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（2）設出p的坐標，表示出切線方程，令F（x）=f（x）-g（x），根據(jù)函數(shù)的單調性證明即可．

解答 解：（1）由f（x）=3x-x³，可得f′（x）=3（1-x²），
令f′（x）=0，解得x=1，或x=-1；
當x變化時，f'（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，-1）	（-1，1）	（1，+∞）
f′（x）	-	+	-

所以f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調遞減，在（-1，1]上單調遞增．
（2）設點p的坐標為（x₀，0），則x₀=$\sqrt{3}$，f′（$\sqrt{3}$）=-6，
曲線y=f（x）在點p處的切線方程為y=f′（$\sqrt{3}$）（x-$\sqrt{3}$），即g（x）=-6（x-$\sqrt{3}$），
令F（x）=f（x）-g（x），則F（x）=f（x）+6（x-$\sqrt{3}$），所以F′（x）=f′（x）+6，
由于f′（x）在（0，+∞）上單調遞減，故F′（x）在（0，+∞）上單調遞減，
又因為F′（$\sqrt{3}$）=0，所以當x∈（0，$\sqrt{3}$）時，F(xiàn)′（x）＞0，
當x∈（$\sqrt{3}$，+∞）時，F(xiàn)′（x）＜0，
所以F（x）在（0，$\sqrt{3}$）內單調遞增，在（$\sqrt{3}$，+∞）上單調遞減，
所以對于任意的正實數(shù)x，都有F（x）≤F（$\sqrt{3}$）=0，
故對于任意的正實數(shù)x，都有f（x）≤g（x）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及轉化思想，是一道綜合題．