Question

5．已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，若a₁²+a₁₀²≤25恒成立，則a₁+3a₇的取值范圍為（　　）

• A． [-5，5]
• B． [-5$\sqrt{2}$，5$\sqrt{2}$]
• C． [-10，10]
• D． [-10$\sqrt{2}$，10$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 利用等差數(shù)列的性質(zhì)令a₁=5cosθ，a₁₀=5sinθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），則d=$\frac{5}{9}$（sinθ-cosθ），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)在定區(qū)間上求最值問(wèn)題解決即可．

解答 解：由題意得，令a₁=5cosθ，a₁₀=5sinθ（0＜θ＜$\frac{π}{2}$），則d=$\frac{5}{9}$（sinθ-cosθ），
∴a₁+3a₇=10（sinθ+cosθ）=10$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∴a₁+3a₇的取值范圍為[-10$\sqrt{2}$，10$\sqrt{2}$]，
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，借助三角函數(shù)，通過(guò)等價(jià)轉(zhuǎn)化思想達(dá)到解決問(wèn)題的目的，要體會(huì)這種換元法的解題思路，屬中檔題．