Question

16．如圖，四棱錐D-ABCM中，AD=DM，且AD⊥DM，底面四邊形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，且AB=2BC=2CM=4，平面AMD⊥平面ABCM．
（Ⅰ）求證：AD⊥BD
（Ⅱ）若點(diǎn)E是線段DB上的一動(dòng)點(diǎn)，問點(diǎn)E在何位置時(shí)，四棱錐M-ADE的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{9}$？

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AM⊥BM，從而BM⊥平面DAM，由此能證明AD⊥BD．
（Ⅱ）由BM⊥平面ADM，BM=2$\sqrt{2}$，由V_M-ADE=V_E-ADM，能求出E為BD的三等分點(diǎn)時(shí)，四棱錐M-ADE的體積為$\frac{4\sqrt{2}}{9}$．

解答 證明：（Ⅰ）∵四邊形ABCM是直角梯形，AB⊥BC，MC⊥BC，
AB=2BC=2MC=4，
∴BM=AM=2$\sqrt{2}$，
∴BM²+AM²=AB²，即AM⊥BM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，
BM?平面ABCM，
∴BM⊥平面DAM，又DA?平面DAM，
∴AD⊥BD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知BM⊥平面ADM，BM=2$\sqrt{2}$，
設(shè)$\frac{DE}{BD}=λ$，則E到平面ADM的距離d=2$\sqrt{2}$λ，
∵△ADM是等腰直角三角形，AD⊥DM，AM=2$\sqrt{2}$，
∴AD=DM=2，
∴V_M-ADE=V_E-ADM=$\frac{1}{3}{S}_{△AMD}•d$=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2×2\sqrt{2}λ=\frac{4\sqrt{2}}{9}$，
解得$λ=\frac{1}{3}$，
∴E為BD的三等分點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)的位置的確定及求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．