Question

4．f（x）=e^x-ax²-（a+1）x-1，a∈R，（e為自然對數(shù)的底數(shù)）
（1）a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（2）若?x₀∈[0，1]，使得f′（x）≥b成立，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為b≤[e^x-2ax-（a+1）]_max，x∈[0，1]，令g（x）=e^x-2ax-（a+1），x∈[0，1]，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)g（x）的最大值，求出b的范圍即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=e^x-x，
f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，
令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增，
故f（x）_極小值=f（0）=1，無極大值；
（2）f′（x）=e^x-2ax-（a+1），
若?x₀∈[0，1]，使得f′（x）≥b成立，
即b≤[e^x-2ax-（a+1）]_max，x∈[0，1]，
令g（x）=e^x-2ax-（a+1），x∈[0，1]，
g′（x）=e^x-2a，
a≤$\frac{1}{2}$時(shí)，g′（x）＞0，
g（x）在[0，1]遞增，g（x）_max=g（1）=e-3a-1，
a≥$\frac{e}{2}$時(shí)，g′（x）＜0，
g（x）在[0，1]遞減，g（x）_max=g（0）=-a，
$\frac{1}{2}$＜a＜$\frac{e}{2}$時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＞ln2a，
令g′（x）＜0，解得：x＜ln2a，
故g（x）在[0，ln2a）遞減，在（ln2a，1]遞增，
故g（x）_max=g（0）或g（1），
綜上：b≤$\left\{\begin{array}{l}{e-3a-1，a≤\frac{e-1}{2}}\\{-a，a＞\frac{e-1}{2}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．