Question

9．已知函數(shù)f（x）=ax+lnx，x∈（1，e）．
（1）當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）有極值，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為a=-$\frac{1}{x}$在（1，e）有解，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）=-$\frac{1}{2}$x+lnx，
f′（x）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{x}$=$\frac{2-x}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：1＜x＜2，
令f′（x）＜0，解得：2＜x＜e，
故f（x）在（1，2）遞增，在（2，e）遞減；
（2）f′（x）=a+$\frac{1}{x}$=$\frac{ax+1}{x}$，
若f（x）有極值，只需ax+1=0在（1，e）有解，
即a=-$\frac{1}{x}$在（1，e）有解，
故-1＜a＜-$\frac{1}{e}$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．