Question

18．設(shè)x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$，記z=x+3y的最小值為k，則函數(shù)f（x）=e^x+k-2的圖象恒過定點(diǎn)（2，-1）．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}{x-y≥0}\\{x+y≥0}\\{2x+y≤1}\end{array}\right.$作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y=1}\\{x+y=0}\end{array}\right.$，解得A（1，-1），
化目標(biāo)函數(shù)z=x+3y為y=$-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$，由圖可知，當(dāng)直線y=$-\frac{x}{3}+\frac{z}{3}$過A時(shí)，直線在y軸上的截距最小，z有最小值為-2．
∴函數(shù)f（x）=e^x+k-2=e^x-2-2．
取x-2=0，得x=2，f（2）=-1．
故函數(shù)f（x）=e^x+k-2的圖象恒過定點(diǎn)（2，-1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．