Question

10．某市文化部門為了了解本市市民對當(dāng)?shù)氐胤綉蚯�是否喜愛，�?5-65歲的人群中隨機(jī)抽樣了n人，得到如下的統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖．
（Ⅰ）寫出其中的a、b、n及x和y的值；
（Ⅱ）若從第1，2，3組回答喜歡地方戲曲的人中用分層抽樣的方法抽取6人，求這三組每組分別抽取多少人？
（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中隨機(jī)抽取2人，用X表示其中是第3組的人數(shù)，求X的分布列和期望．

組號	分組	喜愛人數(shù)	喜愛人數(shù)占本組的頻率
第1組	[15，25）	a	0.10
第2組	[25，35）	b	0.20
第3組	[35，45）	6	0.40
第4組	[45，55）	12	0.60
第5組	[55，65）	20	0.80

Answer 1

分析 （Ⅰ）由表可知第3、4組的人數(shù)，再根據(jù)頻率分布直方圖知第1、2組的人數(shù)，
計(jì)算抽樣總數(shù)和第5組的人數(shù)，從而求出a、b、n及x和y的值；
（Ⅱ）利用分層抽樣原理求出第1、2、3組應(yīng)抽取的人數(shù)；
（Ⅲ）根據(jù)題意知X的可能取值，計(jì)算對應(yīng)的概率值，
寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值．

解答 解：（Ⅰ）由表可知第3組的人數(shù)為$\frac{6}{0.40}$=15，
第4組的人數(shù)為$\frac{12}{0.60}$=20，
再根據(jù)頻率分布直方圖可知第1組、第2組的人數(shù)都為20，
且抽樣總數(shù)為 $n=\frac{20}{0.02×10}=100$，
所以第5組的人數(shù)為100-20-20-15-20=25；
∴a=0.1×20=2，b=20×0.20=4；
$x=\frac{{\frac{15}{100}}}{10}=0.015$，.$y=\frac{{\frac{25}{100}}}{10}=0.025$；…（4分）
（Ⅱ）因?yàn)榈?，2，3組喜歡地方戲曲的人數(shù)比為2：4：6，
用分層抽樣法從這三組中抽取6人，
第1組應(yīng)抽取1人，第2組應(yīng)抽取2人，第3組應(yīng)抽取3人；
（Ⅲ）根據(jù)題意，X的可能取值是0，1，2，
∴$P（X=0）=\frac{C_3^2}{C_6^2}=\frac{1}{5}$，
$P（X=1）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_6^2}=\frac{3}{5}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
∴X的分布列為

X	0	1	2
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

數(shù)學(xué)期望為E（X）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{5}$=1．

點(diǎn)評 本題考查了頻率分布直方圖與離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問題，是綜合題．