Question

14．設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀為1，2，…，10的一個(gè)排列，則滿足對(duì)任意正整數(shù)m，n，且1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的不同排列的個(gè)數(shù)為512．

Answer 1

分析 利用歸納推理求出n的最大值分別為2，3，4時(shí)的排列個(gè)數(shù)，然后推出本題的結(jié)果．

解答 解：如果n=2時(shí)，滿足題意的排列個(gè)數(shù)是2，即1，2或2，1；即2¹．
如果n的最大值為3，則排列個(gè)數(shù)為4；分別為：1，2，3；  2，1，3；1，3，2；3，2，1；4個(gè)．即2²．
如果n的最大值為4，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為8；分別為：1，2，3，4；2，1，3，4；2，1，4，3；1，3，2，4；1，2，4，3，；3，1，2，4；1，4，3，2；4，3，2，1；共8個(gè)，即2³．
如果n的最大值為5，則滿足題意的排列個(gè)數(shù)為16；分別為：1，2，3，4，5；2，1，3，4，5；2，1，4，3，5；2，1，3，5，4；2，1，5，4，3；1，2，4，3，5；1，2，3，5，4；1，2，5，4，3；1，3，2，4，5；1，3，2，5，4；1，4，3，2，5；1，5，4，3，2；3，2，1，4，5；3，2，1，5，4；4，3，2，1，5；5，4，3，2，1；即2⁴．
…
所以：設(shè)x₁，x₂，…，x₁₀為1，2，…，10的一個(gè)排列，則滿足對(duì)任意正整數(shù)m，n，且1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的不同排列的個(gè)數(shù)為：2⁹=512．
故答案為：512．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列組合的數(shù)據(jù)應(yīng)用，歸納推理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：1≤m＜n≤10，都有x_m+m≤x_n+n成立的理解，本題是難題．