Question

18．已知點(diǎn)Q是拋物線C：y²=2px（p＞0）上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，1）的距離之和的最小值為$\sqrt{2}$．
（1）求拋物線C的方程；
（2）如圖，設(shè)直線y=kx+b與拋物線C交于兩點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）且|y₁-y₂|=2，過弦AB的中點(diǎn)M作垂直于y軸的直線與拋物線C交于點(diǎn)D，求△ABD的面積．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，1）的距離之和的最小值為$\sqrt{2}$，得點(diǎn)Q到拋物線的焦點(diǎn)與到點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，1）的距離之和的最小值為$\sqrt{2}$，可得p，即可求拋物線C的方程；
（2）把直線的方程與拋物線方程聯(lián)立可得△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，再利用三角形的面積公式即可得出．

解答 解：（1）∵點(diǎn)Q到拋物線準(zhǔn)線與到點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，1）的距離之和的最小值為$\sqrt{2}$，
∴點(diǎn)Q到拋物線的焦點(diǎn)與到點(diǎn)P（-$\frac{1}{2}$，1）的距離之和的最小值為$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{（\frac{p}{2}+\frac{1}{2}）^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，
∴p=1，
∴拋物線C的方程為y²=2x；
（2）聯(lián)立直線y=kx+b與拋物線C得：k²x²+2（kb-1）x+b²=0（k≠0），△＞0，即1-2kb＞0，
x₁+x₂=$\frac{2（1+kb）}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{^{2}}{{k}^{2}}$．
|y₁-y₂|=k|x₁-x₂|=$\sqrt{\frac{4（1-2kb）}{{k}^{2}}}$=2，
∴1-2kb=k²，
∵M(jìn)（$\frac{1-kb}{{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），D（$\frac{1}{2{k}^{2}}$，$\frac{1}{k}$），
∴△ABD的面積S=$\frac{1}{2}$|MD||y₁-y₂|=$\frac{1}{2}×|\frac{1-2kb}{2{k}^{2}}|×2$=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題綜合考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、弦長公式、直線與拋物線相交問題轉(zhuǎn)化為△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、三角形的面積計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題．