Question

5．已知函數(shù)f（x）=2e^x-m-x，其中m為實(shí)數(shù)．
（1）當(dāng)m=ln2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若m≤1，對任意x∈R，記f（x）的最小值為g（m），求g（m）的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，g（m）的最小值g（1）=ln2．

解答 解：（1）m=ln2時(shí)，f（x）=2e^x-ln2-x，f′（x）=e^x-1，
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
（2）f′（x）=2e^x-m-1，令f′（x）=2e^x-m-1=0，得x=m-ln2．
當(dāng)x∈（-∞，m-ln2）時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（m-ln2，+∞）時(shí)，f′（x）＞0．
∴函數(shù)f（x）在∈（-∞，m-ln2）遞減，在（m-ln2，+∞）遞增，
f（x）的最小值為g（m）=f（m-ln2）=1+ln2-m，
∵m≤1，∴g（m）的最小值g（1）=ln2．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，最值，及零點(diǎn)問題，屬于中檔題．