Question

9．某同學(xué)用“五點法”畫函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）在某一個周期內(nèi)的圖象時，列表并填入了部分?jǐn)?shù)據(jù)，如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x		$\frac{2π}{3}$		$\frac{8π}{3}$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

（1）請將上表數(shù)據(jù)補(bǔ)充完整，填寫在答題卡上相應(yīng)位置，并直接寫出函數(shù)f（x）的解析式；
（2）令g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$，當(dāng)x∈[-π，π]時，恒有不等式g（x）-a-3＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)可得A，T，解得ω，φ的值，即可得解．
（2）由（1）可求g（x）=3$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，由x∈[-π，π]，解得-2≤g（x）≤$\frac{5}{2}$，由題意可得a+3＞$\frac{5}{2}$，即可得解．

解答 解：（1）根據(jù)表中已知數(shù)據(jù)，解得$A=3，ω=\frac{1}{2}，φ=\frac{π}{6}$．?dāng)?shù)據(jù)補(bǔ)全如下表：

ωx+φ	0	$\frac{π}{2}$	π	$\frac{3π}{2}$	2π
x	$-\frac{π}{3}$	$\frac{2π}{3}$	$\frac{5π}{3}$	$\frac{8π}{3}$	$\frac{11}{3}π$
Asin（ωx+φ）	0	3	0	-3	0

…（每空1分）
函數(shù)表達(dá)式為$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}）$…（5分）
（2）由（1）知$f（x）=3sin（{\frac{1}{2}x+\frac{π}{6}}）$，
∴g（x）=f （x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{1}{2}$=3$sin[\frac{1}{2}（x+\frac{π}{3}）+\frac{π}{6}]$-$\frac{1}{2}$=3$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，…（7分）
∵x∈[-π，π]
∴（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]…（8分）
∴-$\frac{1}{2}$≤$sin（\frac{1}{2}x+\frac{π}{3}）$≤1，…（9分）
∴-2≤g（x）≤$\frac{5}{2}$，…（10分）
∵恒有不等式g（x）-a-3＜0成立，
∴a+3＞$\frac{5}{2}$，
∴a＞-$\frac{1}{2}$，
∴a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

點評 本題主要考查了由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，五點法作函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基本知識的考查．