Question

2．已知直線l：$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}}$（其中t為參數(shù)，α為傾斜角）．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=$\frac{cosθ}{{{{sin}^2}θ}}$．
（1）求C的直角坐標(biāo)方程，并求C的焦點(diǎn)F的直角坐標(biāo)；
（2）已知點(diǎn)P（1，0），若直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}$=2，求△FAB的面積．

Answer 1

分析 （1）原方程變形為ρ²sin²θ=ρcosθ，利用互化公式可得：C的直角坐標(biāo)方程．
（2）把l的方程代入y²=x得t²sin²α-tcosα-1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其已知可得：|t₁-t₂|=2|t₁t₂|，平方得${（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4t_1^2t_2^2$，可得sin²α=1，即可得出．

解答 解：（1）原方程變形為ρ²sin²θ=ρcosθ，
∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴C的直角坐標(biāo)方程為y²=x，其焦點(diǎn)為$F（{\frac{1}{4}，0}）$．
（2）把l的方程代入y²=x得t²sin²α-tcosα-1=0，
則${t_1}+{t_2}=\frac{cosα}{{{{sin}^2}α}}，{t_1}{t_2}=-\frac{1}{{{{sin}^2}α}}$，①
$\frac{1}{{|{PA}|}}+\frac{1}{{|{PB}|}}=2?|{PA}|+|{PB}|=2|{PA}|•|{PB}|$，
即|t₁-t₂|=2|t₁t₂|，
平方得${（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4t_1^2t_2^2$，②
把①代入②得$\frac{{{{cos}^2}α}}{{{{sin}^4}α}}+\frac{4}{{{{sin}^2}α}}=\frac{4}{{{{sin}^4}α}}$，∴sin²α=1，
∵α是直線l的傾斜角，∴$α=\frac{π}{2}$，
∴l(xiāng)的普通方程為x=1，且|AB|=2，
點(diǎn)F到AB的距離d=1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$
∴△FAB的面積為S=$\frac{1}{2}$|AB|×d=$\frac{1}{2}×2×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評 本題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識、極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．