【題目】今有一個“數(shù)列過濾器”，它會將進入的無窮非減正整數(shù)數(shù)列刪去某些項，并將剩下的項按原來的位置排好形成一個新的無窮非減正整數(shù)數(shù)列，每次“過濾”會刪去數(shù)列中除以余數(shù)為的項，將這樣的操作記為操作.設(shè)數(shù)列是無窮非減正整數(shù)數(shù)列.

（1）若，進行操作后得到，設(shè)前項和為

①求．

②是否存在，使得成等差？若存在，求出所有的；若不存在，說明理由．

（2）若，對進行與操作得到，再將中下標除以4余數(shù)為0，1的項刪掉最終得到證明：每個大于1的奇平方數(shù)都是中相鄰兩項的和．

【答案】（1）①②不存在．見解析（2）見解析

【解析】

（1）計算得到，再計算得到答案，假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)，化簡，不成立.

（2）計算，根據(jù)題意得到，再證明得到答案.

（1）①由知：當時，故．

則．

②解：假設(shè)存在，由單調(diào)遞增，不妨設(shè)

化簡得，顯然左式為偶數(shù)，右式為奇數(shù)，矛盾，故不存在．

（2）易知，

所以保留，則．

又，將刪去，

得到，則

也即．

記，下面證明：．

由，

知：

，

同理可得：，

合并以上四式，便證明了對任意的，都有．

因此，原命題得證．

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在平面直角坐標系中，直線過原點且傾斜角為.以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立坐標系，曲線的極坐標方程為.在平面直角坐標系中，曲線與曲線關(guān)于直線對稱.

（Ⅰ）求曲線的極坐標方程；

（Ⅱ）若直線過原點且傾斜角為，設(shè)直線與曲線相交于，兩點，直線與曲線相交于，兩點，當變化時，求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸的正半軸，建立平面直角坐標系，直線過點，傾斜角為．

（1）求曲線的直角坐標方程與直線l的參數(shù)方程；

（2）設(shè)直線與曲線交于，兩點，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某同學研究曲線的性質(zhì)，得到如下結(jié)論：①的取值范圍是；②曲線是軸對稱圖形；③曲線上的點到坐標原點的距離的最小值為. 其中正確的結(jié)論序號為（ ）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了檢驗訓練情況，武警某支隊于近期舉辦了一場展示活動，其中男隊員12人，女隊員18人，測試結(jié)果如莖葉圖所示（單位：分）.若成績不低于175分者授予“優(yōu)秀警員”稱號，其他隊員則給予“優(yōu)秀陪練員”稱號.

（1）若用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀警員”和“優(yōu)秀陪練員”中共提取10人，然后再從這10人中選4人，那么至少有1人是“優(yōu)秀警員”的概率是多少？

（2）若所有“優(yōu)秀警員”中選3名代表，用表示所選女“優(yōu)秀警員”的人數(shù)，試求的分布列和數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)事件A表示“關(guān)于的一元二次方程有實根”，其中， 為實常數(shù).

（Ⅰ）若為區(qū)間[0，5]上的整數(shù)值隨機數(shù)， 為區(qū)間[0，2]上的整數(shù)值隨機數(shù)，求事件A發(fā)生的概率；

（Ⅱ）若為區(qū)間[0，5]上的均勻隨機數(shù)， 為區(qū)間[0，2]上的均勻隨機數(shù)，求事件A發(fā)生的概率.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的所有點（ ）

A.先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

B.先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變

C.先向右平移個單位長度，再把所得各點橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標保持不變

D.先向左平移個單位長度，再把所得各點橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線： 的焦點為圓的圓心.

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若斜率的直線過拋物線的焦點與拋物線相交于兩點，求弦長.

【答案】（1）;（2）8.

【解析】試題分析：（1）先求圓心得焦點,根據(jù)焦點得拋物線方程（2）先根據(jù)點斜式得直線方程,與拋物線聯(lián)立方程組,利用韋達定理以及弦長公式得弦長.

試題解析：（1）圓的標準方程為，圓心坐標為，

即焦點坐標為，得到拋物線的方程：

（2）直線： ，聯(lián)立，得到

弦長

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知函數(shù)在點處的切線方程為.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)

（1）判斷的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)存在極值，求這些極值的和的取值范圍.

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同步練習冊答案