Question

13．如圖在底面為正方形，側(cè)棱垂直于底面的四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=2AB，則異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{2}{5}$
• C． $\frac{3}{5}$
• D． $\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．利用向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)即可得出．

解答 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
不妨設(shè)AB=1，B（1，1，0），A₁（1，0，2），A（1，0，0），D₁（0，0，2）．
$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，1，-2），$\overrightarrow{A{D}_{1}}$=（-1，0，2），
∴$cos＜\overrightarrow{{A}_{1}B}，\overrightarrow{A{D}_{1}}＞$=$\frac{\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{D}_{1}}}{|\overrightarrow{{A}_{1}B}||\overrightarrow{A{D}_{1}}|}$=$\frac{-4}{\sqrt{5}×\sqrt{5}}$=-$\frac{4}{5}$．
∴異面直線A₁B與AD₁所成角的余弦值為$\frac{4}{5}$．
故選：D．

點評 本題考查了異面直線所成的角、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了數(shù)形結(jié)合方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．