Question

已知圓C：x2＋(y－2)2＝5，直線l：mx－y＋1＝0.

(1)求證：對m∈R，直線l與圓C總有兩個不同交點；

(2)若圓C與直線l相交于A，B兩點，求弦AB的中點M的軌跡方程．

 

Answer 1

（1）見解析 （2）x2＋(y－)2＝

【解析】(1)解法一：直線mx－y＋1＝0恒過定點(0,1)，且點(0,1)在圓C：x2＋(y－2)2＝5的內(nèi)部，

所以直線l與圓C總有兩個不同交點．

解法二：聯(lián)立方程，消去y并整理，得

(m2＋1)x2－2mx－4＝0.

因為Δ＝4m2＋16(m2＋1)>0，所以直線l與圓C總有兩個不同交點．

解法三：圓心C(0,2)到直線mx－y＋1＝0的距離d＝＝≤1<，

所以直線l與圓C總有兩個不同交點．

(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，聯(lián)立直線與圓的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，

由根與系數(shù)的關系，得x＝＝，

由點M(x，y)在直線mx－y＋1＝0上，當x≠0時，得m＝，代入x＝，得x[()2＋1]＝，

化簡得(y－1)2＋x2＝y(tǒng)－1，即x2＋(y－)2＝.

當x＝0，y＝1時，滿足上式，故M的軌跡方程為x2＋(y－)2＝.