Question

14．北京時(shí)間3月10日，CBA半決賽開打，采用7局4勝制（若某對(duì)取勝四場(chǎng)，則終止本次比賽，并獲得進(jìn)入決賽資格），采用2-3-2的賽程，遼寧男籃將與新疆男籃爭(zhēng)奪一個(gè)決賽名額，由于新疆隊(duì)常規(guī)賽占優(yōu)，決賽時(shí)擁有主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)（新疆先兩個(gè)主場(chǎng)，然后三個(gè)客場(chǎng)，再兩個(gè)主場(chǎng)），以下是總決賽賽程：

日期	比賽隊(duì)	主場(chǎng)	客場(chǎng)	比賽時(shí)間	比賽地點(diǎn)
17年3月10日	新疆-遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月12日	新疆-遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月15日	遼寧-新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月17日	遼寧-新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月19日	遼寧-新疆	遼寧	新疆	20：00	本溪
17年3月22日	新疆-遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊
17年3月24日	新疆-遼寧	新疆	遼寧	20：00	烏魯木齊

（1）若考慮主場(chǎng)優(yōu)勢(shì)，每個(gè)隊(duì)主場(chǎng)獲勝的概率均為$\frac{2}{3}$，客場(chǎng)取勝的概率均為$\frac{1}{3}$，求遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝的概率；
（2）根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，每場(chǎng)比賽組織者可獲得門票收入50萬(wàn)元（與主客場(chǎng)無關(guān)），若不考慮主客場(chǎng)因素，每個(gè)隊(duì)每場(chǎng)比賽獲勝的概率均為$\frac{1}{2}$，設(shè)本次半決賽中（只考慮這兩支隊(duì)）組織者所獲得的門票收入為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場(chǎng)比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{2}{3}$．利用P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）即可得出．
（2）X的所有可能取值為200，250，300，350．設(shè)“遼寧隊(duì)以4：0取勝”為事件A₄，“四川隊(duì)以4：0取勝”為事件B₄；“遼寧隊(duì)以4：1取勝”為事件A₅，“四川隊(duì)以4：1取勝”為事件B₅；“遼寧隊(duì)以4：2取勝”為事件A₆，“四隊(duì)以4：2取勝”為事件B₆；“遼寧隊(duì)以4：3取勝”為事件A₇，“四川隊(duì)以4：3取勝”為事件B₇；可得P（X=i）=P（A_i）+P（B_i）即可得出．

解答 解：（1）設(shè)“遼寧隊(duì)以比分4：1獲勝”為事件A，“第i場(chǎng)比賽取勝”記作事件Ai，由賽程表可知：
P（A₁）=P（A₂）=$\frac{1}{3}$，P（A₃）=P（A₄）=P（A₅）=$\frac{2}{3}$．
則P（A）=P（$\overline{{A}_{1}}$A₂A₃A₄A₅）+P（${A}_{1}\overline{{A}_{2}}$A₃A₄A₅）+P（A₁A₂$\overline{{A}_{3}}$A₄A₅）+P（A₁A₂A₃$\overline{{A}_{4}}$A₅）=$\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{1}{3}×\frac{2}{3}×\frac{2}{3}$=$\frac{40}{243}$…（6分）
（2）X的所有可能取值為200，250，300，350
設(shè)“遼寧隊(duì)以4：0取勝”為事件A₄，“四川隊(duì)以4：0取勝”為事件B₄；
“遼寧隊(duì)以4：1取勝”為事件A₅，“四川隊(duì)以4：1取勝”為事件B₅；
“遼寧隊(duì)以4：2取勝”為事件A₆，“四川隊(duì)以4：2取勝”為事件B₆；
“遼寧隊(duì)以4：3取勝”為事件A₇，“四川隊(duì)以4：3取勝”為事件B₇；
則P（X=4）=P（A₄）+P（B₄）=$2×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{8}$．P（X=5）=P（A₅）+P（B₅）=$2×{∁}_{4}^{1}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{1}{4}$．
P（X=6）=P（A₆）+P（B₆）=$2×{∁}_{5}^{2}×（\frac{1}{2}）^{2}×（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{16}$．
P（X=7）=P（A₇）+P（B₇）=$2×{∁}_{5}^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{3}$×$（\frac{1}{2}）^{4}$=$\frac{5}{16}$．
∴X的分布列為：

X	200	250	300	350
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{5}{16}$	$\frac{5}{16}$

E（X）=200×$\frac{1}{8}$+250×$\frac{1}{4}$+300×$\frac{5}{16}$+350×$\frac{5}{16}$=290.625．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式、隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．