Question

2．設(shè)函數(shù)φ（x）=e^x-1-ax，
（ I）當(dāng)a=1時，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（Ⅱ）若函數(shù)φ（x）在（0，+∞）上有零點，求實數(shù)a的范圍；
（ III）證明不等式e^x≥1+x+$\frac{1}{6}{x^3}（{x∈R}）$．

Answer 1

分析 （ I）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解最小值．
（ II）φ'（x）=e^x-a，若a≤0，求解函數(shù)的極值，若a＞0，求出函數(shù)的最小值，當(dāng)0＜a≤1時，求解極值，當(dāng)a＞1時，求出極值點，設(shè)g（a）=a-1-alna，求出導(dǎo)數(shù)，然后求解最小值，推出a的取值范圍．
（ III）設(shè)函數(shù)$f（x）={e^x}-1-x-\frac{1}{6}{x^3}，f'（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}$通過（1）當(dāng)x≤0時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，（2）當(dāng)x＞0時，設(shè)$g（x）=f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}，g'（x）={e^x}-x$，構(gòu)造設(shè)h（x）=e^x-x，判斷函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的最值，推出結(jié)果．

解答 （本題滿分14分）
解：（ I）ϕ（x）=e^x-1-x，ϕ'（x）=e^x-1x＜0時，ϕ'（x）＜0．ϕ（x）遞減；
x＞0時，ϕ'（x）＞0，ϕ（x）遞增ϕ（x）_min=ϕ（0）=0--------------------（3分）
（ II）φ'（x）=e^x-a
若a≤0，φ'（x）=e^x-a＞0，φ（x）在R上遞增，且φ（0）=0，所以φ（x）在（0，+∞）
上沒有零點------------------------（5分）
若a＞0，φ'（x）＜0，x＜lna，φ'（x）＞0，x＞lnaφ（x）在（-∞，lna）↓，
（lna，+∞）↑，所以φ（x）_min=φ（lna）=a-1-alna---------（7分）
當(dāng)0＜a≤1時，極值點x₀=lna≤0，又φ（0）=0，ϕ（x）在（0，+∞）無零點
當(dāng)a＞1時，極值點x₀=lna＞0，設(shè)g（a）=a-1-alnag'（a）=-lna＜0，g（a）在（1，+∞）上遞減，
∴φ（x）_min=g（a）＜g（1）=0----（8分）φ（2a）=e^2a-1-2a²
∴φ'（2a）=2e^2a-4a=2（e^2a-2a）＞0，φ（2a）在（1，+∞）上遞增
所以φ（2a）＞φ（2）=e²-5＞0，所以φ（x）在（0，+∞）上有零點
所以，a的取值范圍是（1，+∞）----------（9分）
（ III）證明：設(shè)函數(shù)$f（x）={e^x}-1-x-\frac{1}{6}{x^3}，f'（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}$
（1）當(dāng)x≤0時，f'（x）≤0，f（x）在（-∞，0）上遞減--------------------（10分）
（2）當(dāng)x＞0時，設(shè)$g（x）=f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}，g'（x）={e^x}-x$，
設(shè)h（x）=e^x-x，h'（x）=e^x-1＞0（x＞0）h（x）=e^x-x在（0，+∞）上遞增，
∴h（x）＞h（0）=1＞0$g（x）={e^x}-1-\frac{x^2}{2}在（{0，+∞}）上遞增∴g（x）＞g（0）=0$，
即當(dāng)x＞0時，$f'（x）={e^x}-1-\frac{1}{2}{x^2}＞0$，f（x）在（0，+∞）上遞增，----（12分）
由（1）（2）知，f（x）_min=f（0）=0∴f（x）≥0
即${e^x}≥1+x+\frac{1}{6}{x^3}（{x∈R}）$------------------------（14分）

點評 本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想構(gòu)造法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．