4.如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形,側(cè)面PAD是邊長為2的正三角形,AB=BD=$\sqrt{5}$,PB=$\sqrt{7}$
(Ⅰ)求證:平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)設(shè)Q是棱PC上的點(diǎn),當(dāng)PA∥平面BDQ時(shí),求QB與面ABCD成角的正弦值.

分析 (Ⅰ)取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OB,求解三角形可得OP⊥AD,OP⊥OB,再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD,進(jìn)一步得到平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)連接AC交BD于G,連接QG,由線面平行的性質(zhì)可得PA∥QG,則Q為PC的中點(diǎn).過Q作QH⊥平面ABCD,垂足為H,則QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$.然后證明BC⊥平面POB,得BC⊥PB,求解直角三角形可得BQ,則QB與面ABCD成角的正弦值可求.

解答 (Ⅰ)證明:取AD中點(diǎn)O,連結(jié)OP,OB,
∵PAD是邊長為2的正三角形,∴$OP⊥AD,OP=\sqrt{3}$,
∵$AB=BD=\sqrt{5}∴OB⊥AD,OB=2$,
∴OB2+OP2=PB2,則OP⊥OB,
∵OB∩AD=O,∴OP⊥平面ABCD,
又OP?平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABCD;
(Ⅱ)解:連接AC交BD于G,連接QG,
∵PA∥平面BDQ,∴PA∥QG,
又G為AC的中點(diǎn),∴Q為PC的中點(diǎn).
過Q作QH⊥平面ABCD,垂足為H,則QH=$\frac{1}{2}PO=\frac{\sqrt{3}}{2}$.
連接QB,BH,則∠QBH為QB與面ABCD所成角,
∵PO⊥平面ABCD,∴OP⊥BC,
又OB⊥AD,AD∥BC,∴OB⊥BC,
∵PO∩OB=O,∴BC⊥平面POB,則BC⊥PB.
在Rt△PBC中,由PB=$\sqrt{7}$,BC=2,可得PC=$\sqrt{11}$,
則BQ=$\frac{1}{2}PC=\frac{\sqrt{11}}{2}$.
∴sin∠QBH=$\frac{QH}{QB}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{11}}{2}}=\frac{\sqrt{33}}{11}$.
即QB與面ABCD成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{33}}}{11}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定,考查空間想象能力和思維能力,考查線面角的求法,正確找出線面角是關(guān)鍵,是中檔題.

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