Question

12．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均是正數(shù)，其前n項(xiàng)和為S_n，滿足S_n=4-a_n（n∈N^*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}=\frac{1}{{2-{{log}_2}{a_n}}}$（n∈N^*），數(shù)列{b_n•b_n+2}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：${T_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用遞推關(guān)系、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可證明．

解答 解：（1）由S_n=4-a_n，得S₁=4-a₁，解得a₁=2
而a_n+1=S_n+1-S_n=（4-a_n+1）-（4-a_n）=a_n-a_n+1，即2a_n+1=a_n，
∴$\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}=\frac{1}{2}$可見數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為$\frac{1}{2}$的等比數(shù)列．
∴${a_n}=2•{（{\frac{1}{2}}）^{n-1}}={（{\frac{1}{2}}）^{n-2}}$；
（2）證明：∵${b_n}=\frac{1}{{2-{{log}_2}{a_n}}}$=$\frac{1}{{2-（{2-n}）}}=\frac{1}{n}$，
∴${b_n}{b_{n+2}}=\frac{1}{{n（{n+2}）}}$=$\frac{1}{2}（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）$
故數(shù)列{b_nb_n+2}的前n項(xiàng)和${T_n}=\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）}\right.+（{\frac{1}{2}-\frac{1}{4}}）+$$（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）+（{\frac{1}{4}-\frac{1}{6}}）+…+$$\left.{（{\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}}）+（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}}）}]$
=$\frac{1}{2}（{1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$=$\frac{1}{2}（{\frac{3}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}}）$
=$\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$$（{\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}}）＜\frac{3}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．