Question

17．設(shè)a=${∫}_{1}^{{e}^{2}}$$\frac{1}{x}$dx，則二項式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中的常數(shù)項是120．

Answer 1

分析 求定積分得到a的值，再利用二項式定理把（2x-$\frac{1}{x}$）⁵ 展開，可得（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵的展開式中的常數(shù)項．

解答 解：∵a=${∫}_{1}^{{e}^{2}}$$\frac{1}{x}$dx=lnx${|}_{1}^{{e}^{2}}$=2，則二項式（x+$\frac{a}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵=（x+$\frac{2}{x}$）（2x-$\frac{1}{x}$）⁵
=（x+$\frac{2}{x}$）•（${C}_{5}^{0}$•（2x）⁵+${C}_{5}^{1}$•（2x）⁴•（-$\frac{1}{x}$）+${C}_{5}^{2}$•（2x）³•${（-\frac{1}{x}）}^{2}$+${C}_{5}^{3}$•（2x）²•${（-\frac{1}{x}）}^{3}$+${C}_{5}^{4}$•（2x）•${（-\frac{1}{x}）}^{4}$+${C}_{5}^{5}$（-$\frac{1}{x}$）⁵ ，
=（x+$\frac{2}{x}$）•（32x⁵-80x³+80x-40•$\frac{1}{x}$+10•$\frac{1}{{x}^{3}}$-$\frac{1}{{x}^{5}}$），
故展開式中的常數(shù)項為-40+2•80=120，
故答案為：120．

點評 本題主要考查定積分、二項式定理的應(yīng)用，二項式系數(shù)的性質(zhì)，二項式展開式的通項公式，屬于基礎(chǔ)題．