Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx（a＞0）．
（1）若a=2，求曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f′（1），f（1）的值，代入切線方程整理即可；
（2）求出導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)為0求出根，通過討論根與區(qū)間[1，e]的關(guān)系，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值

解答 解：（1）a=2，f（x）=$\frac{1}{2}$x²-2lnx，f′（x）=x-$\frac{2}{x}$，
f′（1）=-1，f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）在（1，f（1））處的切線方程是：2x+2y-3=0；
（2）由f′（x）=$\frac{{x}^{2}-a}{x}$，
由a＞0及定義域為（0，+∞），令f′（x）=0得x=$\sqrt{a}$，
①若$\sqrt{a}$≤1即0＜a≤1在（1，e）上，f′（x）＞0，
f（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$；
②若1＜$\sqrt{a}$＜e，即1＜a＜e²；
在（1，$\sqrt{a}$）上，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
在（$\sqrt{a}$，e）上，f′（x）＞0，
f（x）單調(diào)遞增，因此在[1，e]上，f（x）_min=f（$\sqrt{a}$）=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
③若$\sqrt{a}$≥e，即a≥e²在（1，e）上，f′（x）＜0，
f（x）在[1，e]上單調(diào)遞減，f（x）_min=f（e）=$\frac{1}{2}$e²-a
綜上，當(dāng)0＜a≤1時，f（x）_min=$\frac{1}{2}$；
當(dāng)1＜$\sqrt{a}$＜e時，f（x）_min=$\frac{1}{2}$a（1-lna）；
當(dāng)a≥e²時，f（x）_min=$\frac{1}{2}$e²-a．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法、利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想進(jìn)行解題．