Question

6．已知a為實數，函數f（x）=alnx+x²-4x．
（Ⅰ）是否存在實數a，使得f（x）在x=1處取極值？證明你的結論；
（Ⅱ）若函數f（x）在[2，3]上存在單調遞增區(qū)間，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設g（x）=（a-2）x，若存在x₀∈[$\frac{1}{e}$，e]，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得函數的定義域，求導，假設存在實數a，使f（x）在x=1處取極值，則f′（1）=0，解出a的值，根據x=1的左右單調性是否相同，即可判斷x=1是不是極值點；
（Ⅱ）先求出f（x）的導數，將問題轉化成，a≥2-2（x-1）²，在x∈[2，3]有解，構造輔助函數，利用函數的求得φ（x）=2-2（x-1）²的最小值，即可求得a的取值范圍．
（Ⅲ）在[1，e]上存在一點x₀，使得f（x₀）＜g（x₀）成立，即在[$\frac{1}{e}$，e]，上存在一點x₀，使得G（x₀）＜0，即函數G（x）在[$\frac{1}{e}$，e]，上的最小值小于零．對G（x）求導．求出G（x）的最小值，即可a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+2x-4=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$，
假設存在實數a，使得f（x）下x=1處取極值，則f′（1）=0，
∴a=2，
此時，f（x）=$\frac{2（x-1）^{2}}{x}$，
∴當0＜x＜1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，當x＞1時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
∴x=1不是f（x）的極值點，
故不存在實數a，使得f（x）=1處取極值．
（Ⅱ）f′（x）=$\frac{2{x}^{2}-4x+a}{x}$=$\frac{2（x-1）^{2}+a-2}{x}$（x＞0），
問題等價于，存在x∈[2，3]，使得f′（x）≥0，即a≥2-2（x-1）²，在x∈[2，3]有解，
∴φ（x）=2-2（x-1）²，在[2，3]上遞減，
∴φ_min=φ（3）=-6，
∴a＞-6；
（Ⅲ）記F（x）=x-lnx，
∴F′（x）=$\frac{x-1}{x}$（x＞0），
∴當0＜x＜1，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）單調遞減；
當x＞1時，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）單調遞增；
∴F（x）≥F（1）=1＞0，即x＞lnx，（x＞0），
由f（x₀）≤g（x₀）得：（x₀-lnx₀）a≥x₀²-2x₀，
∴a≥$\frac{{x}_{0}^{2}-2{x}_{0}}{{x}_{0}-ln{x}_{0}}$，
記G（x）=$\frac{{x}^{2}-2x}{x-lnx}$，x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
G′（x）=$\frac{（2x-2）（x-lnx）-（x-2）（x-1）}{（x-lnx）^{2}}$=$\frac{（x-1）（x-2lnx+2）}{（x-lnx）^{2}}$，
x∈[$\frac{1}{e}$，e]，
∴2-2lnx=2（1-lnx）≥0，
∴x-2lnx+2＞0，
∴x∈（$\frac{1}{e}$，e）時，G′（x）＜0，G（x）遞減，x∈（1，e）時，G′（x）＞0，G（x）遞增，
∴a≥G（x）_min=G（1）=-1，
故實數a的取值范圍為[-1，+∞）．

點評 本題考查了導數和函數的極值最值得關系，以及采用分離參數法求參數的取值范圍，培養(yǎng)了學生的運用知識解決問題的能力，轉化能力和運算能力，屬于難題．