Question

14．如圖，AB是圓O的直徑，C是圓O上除A、B外的一點，DC⊥平面ABC，四邊形CBED為矩形，CD=1，AB=4．
（1）求證：ED⊥平面ACD；
（2）當(dāng)三棱錐E-ADC體積取最大值時，求此刻點C到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （1）先證明BC⊥平面ACD，再由BC∥ED，得出ED⊥平面ACD；
（2）由V_{三棱錐C-ADE}=V_{三棱錐E-ACD}，利用基本不等式求出三棱錐C-ADE體積的最大值，再利用三棱錐的體積公式計算點C到平面ADE的距離．

解答 解：（1）證明：∵AB是圓O的直徑，
∴AC⊥BC，
又DC⊥平面ABC，BC?平面ACD，
∴DC⊥BC，
又AC∩DC=D，
AC?平面ACD，DC?平面ACD，
∴BC⊥平面ACD；
又四邊形CBED為矩形，
∴BC∥ED，
∴ED⊥平面ACD；
（2）解：由（1）知，
V_{三棱錐C-ADE}=V_{三棱錐E-ACD}
=$\frac{1}{3}$S_△ACD•DE
=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•AC•CD•DE
=$\frac{1}{6}$•AC•BC≤$\frac{1}{12}$•（AC²+BC²）=$\frac{1}{12}$•AB²=$\frac{1}{12}$×4²=$\frac{4}{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC=2$\sqrt{2}$時等號成立；
∴當(dāng)AC=BC=2$\sqrt{2}$時，三棱錐C-ADE的體積最大，為$\frac{4}{3}$；
此時，AD=$\sqrt{{1}^{2}{+（2\sqrt{2}）}^{2}}$=3，
S_△ADE=$\frac{1}{2}$•AD•DE=3$\sqrt{2}$，
設(shè)點C到平面ADE的距離為h，則
V_{三棱錐C-ADE}=$\frac{1}{3}•$S_△ADE•h=$\frac{4}{3}$；
∴h=$\frac{4}{3}$÷（$\frac{1}{3}$×3$\sqrt{2}$）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．

點評 本題考查了空間中的平行與垂直關(guān)系的應(yīng)用問題，也考查了錐體體積的計算問題，是綜合性題目．