Question

3．設(shè)等差數(shù)列{a_n}的前n項和為Sn，公差為d，已知（a₅-1）²⁰¹⁵+2016a₅+（a₅-1）²⁰¹⁷=2008，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016a₁₁+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=2024，則下列命題是真命題的是（　　）

• A． S₁₅=22，d＜0
• B． S₁₅=22，d＞0
• C． S₁₅=15，d＜0
• D． S₁₅=15，d＞0

Answer 1

分析 由已知得，（a₅-1）²⁰¹⁵+2016（a₅-1）+（a₅-1）²⁰¹⁷=-8，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016（a₁₁-1）+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=8．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²⁰¹⁵+2016x+x²⁰¹⁷可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在R上單增即可得a₅-1+a₁₁-1=0，a₅＜a₁₁

解答 解：由（a₅-1）²⁰¹⁵+2016a₅+（a₅-1）²⁰¹⁷=2008得，（a₅-1）²⁰¹⁵+2016（a₅-1）+（a₅-1）²⁰¹⁷=-8，
由（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016a₁₁+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=2024得，（a₁₁-1）²⁰¹⁵+2016（a₁₁-1）+（a₁₁-1）²⁰¹⁷=8．
構(gòu)造函數(shù)f（x）=x²⁰¹⁵+2016x+x²⁰¹⁷可知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，且在R上單增，∵f（a₅-1）=-8，f（a₁₁-1）=8
∴．a(chǎn)₅-1+a₁₁-1=0，∴．a(chǎn)₅+a₁₁=2．∴a₅＜a₁₁，公差為d＞0，S₁₅=$\frac{15}{2}（{a}_{5}+{a}_{11}）=15$．
故選D．

點評 本題考查了函數(shù)與數(shù)列的綜合應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵，屬于中檔題．