Question

18．已知二次函數(shù)f（x）滿足f（-2）=f（0）=-3，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥-4．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=mf（x）+1
①若m＜0，證明：g（x）在（-∞，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)；
②若m＞0，求y=|g（x）|在[-3，$\frac{3}{2}$]上的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-1，最小值為-4，不妨設(shè)f（x）=a（x+1）²-4，利用f（0）=a-4=-3，求出a的值，
（Ⅱ）①化簡(jiǎn)g（x），利用對(duì)稱軸以及g（x）的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，判斷即可，
②利用g（-1）=1-4m，g（-3）=1，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，通過m＞0，當(dāng)1-4m≥0，或1-4m＜0，分別求解函數(shù)的最值即可

解答 解：（Ⅰ）由f（-2）=f（0）=-3，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，都有f（x）≥-4，
則對(duì)稱軸為x=-1，最小值為-4，
不妨設(shè)f（x）=a（x+1）²-4，
∴f（0）=a-4=-3，
解得a=1，
∴f（x）=（x+1）²-4=x²+2x-3，
（Ⅱ），①由題意可得g（x）=m（x+1）²-4m+1，m＜0，
對(duì)稱軸為x=-1＜1，
∴g（x）在（-∞，-1]上單調(diào)遞增，在（-1，1]上單調(diào)遞減，
∵g（1）=1＞0，g（-1）=1-4m＞0，
∴g（x）在（-1，1]上沒有零點(diǎn)，在（-∞，-1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
∴g（x）在（-∞，1]上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，
②g（-1）=1-4m，g（-3）=1，g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
∵m＞0，
∴g（$\frac{3}{2}$）＞g（3），
當(dāng)1-4m≥0時(shí)，即m$≤\frac{1}{4}$時(shí)，y_max=|g（x）|_max=g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
當(dāng)1-4m＜0時(shí)，即m＞$\frac{1}{4}$時(shí)，若4m-1≤$\frac{9}{4}$m+1，即$\frac{1}{4}$＜m≤$\frac{8}{7}$，y_max=|g（x）|_max=g（$\frac{3}{2}$）=$\frac{9}{4}$m+1，
若4m-1＞$\frac{9}{4}$m+1，即m＞$\frac{8}{7}$，y_max=|g（x）|_max=|g（-1）|=4m-1，
綜上所述：當(dāng)0＜m≤$\frac{8}{7}$時(shí)，y_max=$\frac{9}{4}$m+1，當(dāng)m＞$\frac{8}{7}$時(shí)，y_max=4m-1

點(diǎn)評(píng) 本題考查了二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的性質(zhì)，以及函數(shù)的零點(diǎn)定理和二次函數(shù)的最值，屬于中檔題