Question

13．設(shè)函數(shù)f（x）=e^x-ax，a是常數(shù)．
（Ⅰ）若a=1，且曲線y=f（x）的切線l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)（0，0），求該切線的方程；
（Ⅱ）討論f（x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，表示出切線方程，求出m的值，從而求出切線方程即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論 a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f（x）=e^x-x，f′（x）=e^x-1 …（1分），
設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)是（m，e^m-m），
則k=f′（m）=e^m-1，
故切線方程是：
y-（e^m-m）=（e^m-1）（x-m） …（3分）
由0-（e^m-m）=（e^m-1）（0-m），得m=1，
所求切線為：y=（e-1）x…（5分）
（Ⅱ）f′（x）=e^x-a，當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=0得x=lna…（6分）
（1）a＞0時(shí)，若x＜lna，則f′（x）＜0；若x＞lna，則f′（x）＞0．
函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，lna）單調(diào)遞減，在區(qū)間（lna，+∞）單調(diào)遞增，
f（x）的最小值為f（lna）=a（1-lna）…（7分）
①0＜a＜e時(shí)，f（lna）=a（1-lna）＞0，f（x）無(wú)零點(diǎn)…（8分）
②a=e時(shí)，f（lna）=a（1-lna）=0，f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)…（9分）
③a＞e時(shí)，f（lna）=a（1-lna）＜0，根據(jù)f（0）=1＞0與函數(shù)的單調(diào)性，
f（x）在區(qū)間（-∞，lna）和（lna，+∞）各有一個(gè)零點(diǎn)，f（x）共有兩個(gè)零點(diǎn)…（10分）
（2）a=0時(shí)，f（x）=e^x，f（x）無(wú)零點(diǎn)…（11分）
（3）a＜0時(shí)，由f（x）=0得，e^x=ax，
故曲線y=e^x與y=ax只有一個(gè)交點(diǎn)，所以f（x）只有一個(gè)零點(diǎn)．
綜上所述，0≤a＜e時(shí)，f（x）無(wú)零點(diǎn)；
a＜0或a=e時(shí)，f（x）有一個(gè)零點(diǎn)；
a＞e時(shí)，f（x）有兩個(gè)零點(diǎn)…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線方程問(wèn)題，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類(lèi)討論思想，是一道綜合題．