Question

3．如圖，在三棱錐A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC與△BCD均為等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，若線段CD上存在點(diǎn)Q，使得異面直線PQ與AC成30°的角，則線段PA長(zhǎng)的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$）
• C． （$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$）
• D． （$\frac{\sqrt{6}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出線段PA長(zhǎng)的取值范圍．

解答 解：以C為原點(diǎn)，CD為x軸，CB為y軸，過C作平面BCD的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，1，1），B（0，2，0），C（0，0，0），
設(shè)Q（q，0，0），$\overrightarrow{AP}=λ\overrightarrow{AB}$=（0，λ，-λ），
則$\overrightarrow{PQ}$=$\overrightarrow{CQ}$-$\overrightarrow{CP}$=$\overrightarrow{CQ}-（\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AP}）$=（q，0，0）-（0，1，1）-（0，λ，-λ）=（q，-1-λ，λ-1），
∵異面直線PQ與AC成30°的角，
∴cos30°=$\frac{|\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{PQ}|}{|\overrightarrow{CA}|•|\overrightarrow{PQ}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{{q}^{2}+（1+λ）^{2}+（λ-1）^{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{{q}^{2}+2{λ}^{2}+2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴q²+2λ²+2=$\frac{8}{3}$，∴${q}^{2}=\frac{2}{3}-2{λ}^{2}∈[0，4]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{3}-2{λ}^{2}≥0}\\{\frac{2}{3}-2{λ}^{2}≤4}\end{array}\right.$，解得0$≤λ≤\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴|$\overrightarrow{AP}$|=$\sqrt{2}λ$∈[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]，
∴線段PA長(zhǎng)的取值范圍是[0，$\frac{\sqrt{6}}{3}$]．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線段的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．