Question

17．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{2{a}^{2}}{x}$+x．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（x）≥0，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）通過討論a的范圍，求出函數(shù)的最小值，得到關(guān)于a的不等式，解出即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{{2a}^{2}}{{x}^{2}}$+1=$\frac{（x+2a）（x-a）}{{x}^{2}}$，
a＞0時，f（x）在（0，a）遞減，在（a，+∞）遞增，
a=0時，f（x）在（0，+∞）遞增，
a＜0時，f（x）在（0，-2a）遞減，在（-2a，+∞）遞增；
（2）由（1）a＞0時，f（x）_min=f（a）=alna+3a≥0，解得：a≥e^-3，
a=0時，f（x）=x≥0成立，
a＜0時，f（x）_min=f（-2a）=aln（-2a）=aln（-2a）-3a≥0，解得：a≥-$\frac{{e}^{3}}{2}$，
綜上：a∈[-$\frac{{e}^{3}}{2}$，0]∪[e^-3，+∞）．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．