Question

18．已知直線y=ax與圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0交于兩點A，B，且△CAB為等邊三角形，則圓C的面積為（　�。�

• A． 49π
• B． 36π
• C． 7π
• D． 6π

Answer 1

分析 根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離為Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-1}$，根據(jù)點到直線的距離公式即可得到結(jié)論．

解答 解：圓C：x²+y²-2ax-2y+2=0，即（x-a）²+（y-1）²=a²-1的圓心C（a，1），半徑R=$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
∵直線和圓相交，△ABC為等邊三角形，
∴圓心到直線的距離為Rsin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
即d=$\frac{|{a}^{2}-1|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$$\sqrt{{a}^{2}-1}$，
解得a²=7，
∴圓C的面積為4πr²=6π．
故選：D．

點評 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)△ABC為等邊三角形，得到圓心到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．