Question

14．函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的圖象如圖所示，把函數(shù)f（x）的圖象向右平移$\frac{π}{4}$個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象．
（1）求y=g（x）得解析式，
（2）若直線y=m與函數(shù)g（x）圖象在$x∈[0，\frac{π}{2}]$時有兩個公共點，其橫坐標(biāo)分別為x₁，x₂，求g（x₁+x₂）的值；
（3）已知△ABC內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且c=3，g（C）=1．若向量$\overrightarrow m=（1，sinA）$與$\overrightarrow n=（2，sinB）$共線，求a、b的值．

Answer 1

分析 （1）由圖象可求T，利用周期公式可求ω，又$2×\frac{π}{3}+ϕ=π$，可求φ，由圖象變換，得y=g（x）得解析式．
（2）由函數(shù)圖象的對稱性，即可求得$g（{x_1}+{x_2}）=g（\frac{2π}{3}）=-\frac{1}{2}$．
（3）由題意可得$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，由范圍0＜C＜π，可求$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，求得C的值，由向量共線可求sinB-2sinA=0．由正弦定理  $\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得b=2a，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，聯(lián)立即可解得a，b的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由函數(shù)f（x）的圖象，$T=4（\frac{7π}{12}-\frac{π}{3}）=\frac{2π}{ω}$，得ω=2，
又$2×\frac{π}{3}+ϕ=π$，
可得：$ϕ=\frac{π}{3}$，
所以$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）$，…（2分）
由圖象變換，得$g（x）=f（x-\frac{π}{4}）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，…（4分）
（2）由函數(shù)圖象的對稱性，有$g（{x_1}+{x_2}）=g（\frac{2π}{3}）=-\frac{1}{2}$．…（6分）
（3）∵$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π，$-\frac{π}{6}＜2C-\frac{π}{6}＜\frac{11π}{6}$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，
∴$C=\frac{π}{3}$．     …（7分）
∵$\overrightarrow m與\overrightarrow n$共線，
∴sinB-2sinA=0．
由正弦定理  $\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得b=2a，①…（9分）
∵c=3，由余弦定理，得$9={a^2}+{b^2}-2abcos\frac{π}{3}$，②…（11分）
解方程組①②，得$\left\{\begin{array}{l}a=\sqrt{3}\\ b=2\sqrt{3}\end{array}\right.$．       …（12分）

點評 本題主要考查了由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)圖象的對稱性，正弦定理，余弦定理，平面向量共線的性質(zhì)等知識的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．