Question

4．若定義在[0，4]上的函數(shù)f（x）=-sin（πx）與函數(shù)g（x）=x³+bx+c在同一點處有相同的最小值，則b-c的值為0或-49．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最小值及對應(yīng)的x的值，利用導(dǎo)數(shù)判斷g（x）的單調(diào)性，得出g（x）的最小值和對應(yīng)的x，列出方程組即可得出b，c的值．

解答 解：令πx=$\frac{π}{2}$+2kπ得x=$\frac{1}{2}$+2k，k∈Z．
∴當(dāng)x=$\frac{1}{2}$或x=$\frac{5}{2}$時，f（x）=-sin（πx）取得最小值-1．
g′（x）=3x²+b，
（1）若b≥0，則g′（x）≥0，
∴g（x）在[0，4]上是增函數(shù)，
∴當(dāng)x=0時g（x）取得最小值，不符合題意；
（2）若b＜0，令g′（x）=0得x=$\sqrt{-\frac{3}}$或x=-$\sqrt{-\frac{3}}$（舍）．
①若$\sqrt{-\frac{3}}$≥4，則g′（x）≤0，
∴g（x）在[0，4]上是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=4時g（x）取得最小值，不符合題意；
②若0＜$\sqrt{-\frac{3}}$＜4，即-48＜b＜0時，
∴當(dāng)0＜x＜$\sqrt{-\frac{3}}$時，g′（x）＜0，當(dāng)$\sqrt{-\frac{3}}$＜x＜4時，g′（x）＞0，
∴g（x）在（0，$\sqrt{-\frac{3}}$）上單調(diào)遞減，在（$\sqrt{-\frac{3}}$，4）上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=$\sqrt{-\frac{3}}$時，g（x）取得最小值g（$\sqrt{-\frac{3}}$）=-$\frac{3}$$\sqrt{-\frac{3}}$+b$\sqrt{-\frac{3}}$+c=$\frac{2b}{3}$$\sqrt{-\frac{3}}$+c．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-\frac{3}}=\frac{1}{2}}\\{\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{3}}+c=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{-\frac{3}}=\frac{5}{2}}\\{\frac{2b}{3}\sqrt{-\frac{3}}+c=-1}\end{array}\right.$．
解得b=c=-$\frac{3}{4}$或b=-$\frac{75}{4}$，c=$\frac{121}{4}$．
∴b-c=0或b-c=-49．
故答案為：0或-49．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)最值的計算，正弦函數(shù)的性質(zhì)，分類討論思想，屬于中檔題．