Question

已知函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，f（2）=0，且當(dāng)x∈（-∞，0）時，f（x）+xf′（x）＜0成立（其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則不等式xf（x）＞0的解集是

 

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Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：利用當(dāng)x＜0時，f（x）+xf'（x）＜0，化為（xf（x））'＜0，令y=xf（x），通過函數(shù)是減函數(shù)，偶函數(shù)，轉(zhuǎn)化求解xf（x）＞0解集即可．

解答： 解：當(dāng)x＜0時，f（x）+xf'（x）＜0，即（xf（x））'＜0，
令y=xf（x），
則函數(shù)y=xf（x）在區(qū)間（-∞，0）上為減函數(shù)，
又f（x）在定義域上是偶函數(shù)，
∴函數(shù)y=xf（x）在定義域上是奇函數(shù)，且2f（-2）=2f（2）=0，
則xf（x）＞0在（-∞，0）上的解集是（-∞，-2），
∴xf（x）＞0的解集是（-∞，-2）∪（0，2）．
故答案為：（-∞，-2）∪（0，2）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．