Question

11．在平面直角坐標系中，直線L的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數）．在以原點 O為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標中，圓C的方程為$ρ=2\sqrt{5}sinθ$．
（Ⅰ）寫出直線L的傾斜角α和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）若點 P坐標為$（{3，\sqrt{5}}）$，圓C與直線L交于 A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）直線L的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數）．消去參數t可得：直線L的普通方程，利用斜率與傾斜角的關系可得α．圓C的方程為$ρ=2\sqrt{5}sinθ$，即 ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，利用互化公式可得直角坐標方程．
（Ⅱ）把直線L的參數方程代入圓C的直角坐標方程，得t²+3$\sqrt{2}$t+4=0，利用根與系數的關系、參數的意義即可得出．

解答 解：（Ⅰ）直線L的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-tcos\frac{3π}{4}}\\{y=\sqrt{5}+tsin\frac{3π}{4}}\end{array}\right.$（t為參數）．
消去參數t可得：直線L的普通方程為x+y-3+$\sqrt{5}$=0，
則tanα=-1，
∴α=$\frac{π}{4}$．
圓C的方程為$ρ=2\sqrt{5}sinθ$，即 ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，
利用互化公式可得：直角坐標方程為x²+（y-$\sqrt{5}$）²=5．
（Ⅱ）把直線L的參數方程代入圓C的直角坐標方程，
得t²+3$\sqrt{2}$t+4=0，
設t₁，t₂是上述方程的兩實數根，
又直線L過點P（3，$\sqrt{5}$），A、B兩點對應的參數分別為t₁，t₂，
所以|PA|•|PB|=4．

點評 本題考查了參數方程化為普通方程及其意義、極坐標方程化為直角坐標方程、一元二次方程的根與系數的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．